Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости расположено [ n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.

   Решение

---

В блицтурнире принимали участие  2n + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

   Решение

---

Известно, что многочлен  (x + 1)ⁿ – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.

   Решение

---

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

   Решение

---

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Покрытия ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Решение

Первое решение. Пусть O –центр симметрии многоугольника, A , B , C – вершины T , A' , B' , C' – соответствующие вершины T' ; пусть Δ ABC при симметрии относительно O переходит в Δ A₀B₀C₀ (лежащий в M ). Если O=P , утверждение очевидно. Пусть d – луч прямой OP с вершиной в P , не содержащий O . Тогда d пересекает одну из сторон ABC , скажем, AB .

Рис. 1
Рассмотрим параллелограмм ABA₀B₀ , лежащий в M . Прямая OP высекает в нем отрезок, симметричный относительно O ; тогда отрезок A'B' пересекается с этой прямой во внутренней точке K параллелограмма (см. рис. 1) . Теперь, поскольку A'B'|| AB|| A₀B₀ , то одна из точек A' и B' лежит в этом параллелограмме (или на его границе), иначе A'B'>AB , что неверно.

Второе решение. Докажем простую лемму: если на плоскости дан треугольник XYZ и точка S , то треугольник XYZ покрывается треугольниками SXY , SYZ , SZX .

Действительно, прямые XY , YZ , ZX разбивают плоскость на 7 частей (см. рис. 2) . Если S лежит в части 1, то Δ XYZ = Δ SXY Δ SYZ Δ SZX ; если S лежит в части 2, то Δ XYZ Δ SYZ (рассмотрения для частей 3, 4 аналогичны); если S лежит в части 5, то Δ XYZ Δ SXY Δ SZX (рассмотрения для частей 6, 7 аналогичны).

Перейдем к решению задачи.
Обозначим через O центр симметрии многоугольника M , через A , B , C – вершины треугольника T , а через A₁ , B₁ , C₁ – середины сторон BC , CA , AB соответственно.
          
Рис. 2                             Рис. 3
Рассмотрим многоугольник V_A , являющийся выпуклой оболочкой точек O , A , B₁ , C₁ . Заметим, что V_A покрывает Δ A B₁C₁ .

Определим также V_B и V_C как выпуклые оболочки четверок O , B , C₁ , A₁ и O , C , A₁ , B₁ . При этом V_B покрывает Δ B A₁ C₁ , V_C покрывает Δ C A₁B₁ . Кроме того, V_A Δ O B₁ C₁ , V_B Δ O C₁ A₁ , V_C Δ O A₁ B₁.
Отсюда, применяя лемму, получаем, что объединение V многоугольников V_A , V_B , V_C покрывает Δ A₁ B₁C₁ . Итак, V покрывает объединение треугольников A B₁ C₁ , B A₁ C₁ , C A₁ B₁ , A₁ B₁ C₁ , т.е. V покрывает Δ A B C . Это означает, что один из многоугольников V_A , V_B , V_C содержит точку P , пусть, для определенности, P V_A (см. рис. 3).

Пусть A' – вершина треугольника T' , т.е. точка, симметричная точке A относительно P ; пусть D – точка, симметричная точке A относительно O . При гомотетии с центром в точке A и коэффициентом k=2 точка P перейдет в A' , O перейдет в D , C₁ перейдет в B , B₁ перейдет в C . Следовательно, многоугольник V_A перейдет в выпуклую оболочку U точек D , A , C , B , причем точка A' содержится в U .

Так как A, B, C M и M симметричен относительно O , то D M . Поскольку M – выпуклый, U M .
Значит, A' M , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования