Версия для печати
Убрать все задачи

---

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

   Решение

---

Решите систему уравнений:
    xy(x + y) = 30
    x³ + y³ = 35.

   Решение

---

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S₁, а вершины B и D – на окружности S₂, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.

   Решение

---

Боковая грань образует с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды угол 60^o . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

   Решение

---

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a₁|+..+|x-a50|=|x-b₁|+..+|x-b50|,
где a₁ , a₂ , a50 , b₁ , b₂ , b50 – различные числа?

   Решение

Темы:    [ Уравнения с модулями ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Последовательности функций (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a₁|+..+|x-a50|=|x-b₁|+..+|x-b50|,
где a₁ , a₂ , a50 , b₁ , b₂ , b50 – различные числа?

Решение

Положим f(x) = |x-a₁|+...+|x-a50|-|x-b₁|- .. -|x-b50| и перепишем исходное уравнение в виде f(x) = 0 .

Пусть c₁ < c₂ < .. < c100 – все числа из множества {a₁, .., a50, b₁, .., b50} , упорядоченные по возрастанию. На каждом из 101 промежутка [-,c₁] , [c₁,c₂] , [c99,c100] , [c100,+) , функция f(x) линейна. Заметим, что на первом и последнем из этих промежутков f(x) = m = (a₁+...+ a50) - (b₁+...+ b50) и f(x) = -m соответственно, при этом m 0 , так как количество корней конечно.

Пойдем по числовой оси слева направо.
Вначале угловой коэффициент функции f(x) равен 0. Всякий раз, когда мы проходим одну из точек c_i , он за счет смены знака при раскрытии соответствующего модуля изменяется на 2 .

Таким образом, он всегда равен четному целому числу и не может поменять знак, не обратившись перед этим в 0.
Значит, угловые коэффициенты на любых двух соседних промежутках либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, т.е. функция f(x) на объединении этих промежутков либо неубывающая, либо невозрастающая.

Стало быть, если число ее корней конечно, то на каждом из 50 отрезков [c₁,c₃], .., [c97,c99], [c99,c100] она имеет не более одного корня. Кроме того, на крайних интервалах значения имеют разные знаки, и в каждом корне знак функции меняется. Следовательно, количество корней нечетно и не превышает 49.

Нетрудно проверить, что если роль a_i будут играть числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль b_i – числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, 99 , то уравнение f(x)=0 будет иметь ровно 49 корней.

Ответ

49.00

Источники и прецеденты использования