Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?
Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что треугольник A1B1C1 не может быть правильным.
Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
|
|
 |
Условие
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
Решение
Ясно, что ломаная пересекает диагональ. Пусть A – одна из вершин ломаной, лежащая на диагонали.
Будем двигаться по ломаной, пока не попадём в первый раз снова в вершину B, лежащую на диагонали. Из симметрии, если двигаться по ломаной из A в другую сторону, то B также окажется первой вершиной на диагонали, в которую мы попадём. При этом ломаная уже замкнётся, поэтому через остальные 13 центров клеток на диагонали ломаная не проходит.
Раскрасим доску в шахматном порядке так, чтобы диагональ была чёрной.
Заметим, что на нашей ломаной белые и чёрные клетки чередуются, поэтому их количества равны.
Всего на доске (15² + 1) : 2 = 113 чёрных клеток. Поскольку клетки диагонали чёрные и ломаная не проходит через 13 из них, то она проходит не более чем через 100 чёрных клеток. Итого длина ломаной не более 2·100 = 200.
