Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ ,
являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство
Докажите, что для всех x(0;
) при
n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .
Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.
На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что ∠AKB = ∠ADC. Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.
Найдите все такие простые числа p и q , что p + q = (p – q)³.
|
|
 |
Условие
Найдите все такие простые числа p и q , что p + q = (p – q)³.
Решение
Пусть p – q = n, тогда p + q = n³. Отсюда q = ½ (n³ – n) = ½ (n – 1)n(n + 1).
Среди трёх последовательных целых чисел одно делится на 3, поэтому q делится на 3. Значит, q = 3. Это значение q получается при n = 2. При этом
p = 5.
Ответ
p = 5, q = 3.
