ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111799
Темы:    [ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.


Решение

В треугольниках ABK и ACD углы AKB и ADC равны по условию, а  ∠ABK = ∠ABD = ∠ACD  как вписанные; значит, эти треугольники подобны. Следовательно, треугольник ABK переходит в треугольник ACD при поворотной гомотетии с центром A (то есть при повороте на угол BAC и последующей гомотетии с коэффициентом AC/AB). При этой поворотной гомотетии точка I' переходит в точку I (так как I' и I – соответственные точки подобных треугольников ABK и ACD), поэтому  ∠I'AI = ∠BAC  и  AI/AI' = AC/AB.  Значит, треугольник AII' подобен треугольнику ACB, откуда
AIX = ∠AII' = ∠ACB.  Но  ∠ACB = ∠ADB,  откуда  ∠AIX = ∠ADX;  это и означает, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4462
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 08.4.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .