Задача 111799

Темы:    [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Гаврилюк А.

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Решение

В треугольниках ABK и ACD углы AKB и ADC равны по условию, а  ∠ABK = ∠ABD = ∠ACD  как вписанные; значит, эти треугольники подобны. Следовательно, треугольник ABK переходит в треугольник ACD при поворотной гомотетии с центром A (то есть при повороте на угол BAC и последующей гомотетии с коэффициентом ^AC/_AB). При этой поворотной гомотетии точка I' переходит в точку I (так как I' и I – соответственные точки подобных треугольников ABK и ACD), поэтому  ∠I'AI = ∠BAC  и  ^AI/_AI' = ^AC/_AB.  Значит, треугольник AII' подобен треугольнику ACB, откуда
∠AIX = ∠AII' = ∠ACB.  Но  ∠ACB = ∠ADB,  откуда  ∠AIX = ∠ADX;  это и означает, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4462
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	08.4.11.6