Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
Фокусник выкладывает 36 карт в виде квадрата 6×6 (в 6 столбцов по 6 карт) и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6×6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.
|
|
 |
Условие
Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.
Решение
Положим c = 2000(2d + 2). Тогда из равенства c = 2000((d + 1) + (d + 1)), следует,
что числа d + 1 и c одного цвета.
С другой стороны, c = 2000(d + (d + 2)), значит, числа d, d + 2 и d + 1
– одного цвета, или трёх разных цветов.
Поэтому любые три последовательных числа либо одного цвета, либо трёх разных. Если числа 1, 2, 3 – одного цвета, то рассматривая последовательно тройки 2, 3, 4; 3, 4, 5 и т.д., получаем, что все числа – одного цвета. Если 1 – цвета A, 2 – цвета B, 3 – цвета C, то из тройки 2, 3, 4 получаем, что 4 – цвета A; из тройки 3, 4, 5: что 5 – цвета B, и т.д.
Пусть a = 3k1 + r1, b = 3k2 + r2, c = 3k3 + r3 (r1, r2, r3 – остатки чисел a, b, c при делении на 3).
Равенство 2000(a + b) = 2000(3k1 + r1 + 3k2 + r2) = 3M – (r1 + r2) = c = 3k3 + r3 возможно только в случае, когда r1 + r2 + r3 делится на 3, то есть либо когда остатки r1, r2, r3 равны, либо когда они попарно различны.
Отсюда вытекает, что найденные раскраски удовлетворяют условию.
Ответ
Две раскраски:
все числа одного цвета;
числа 3k – 2, k ∈ N – цвета A, числа 3k – 1 – цвета B, числа 3k – цвета C.
