Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности , описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности .

   Решение

---

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

   Решение

---

В треугольнике ABC взята такая точка O, что  ∠COA = ∠B + 60°,  ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°.  Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.

   Решение

---

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки подобия ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Решение

  Обозначим через H ортоцентр треугольника ABC, через H₁, H₂, H₃ – основания высот на сторонах BC, CA, AB соответственно, а через A₁, B₁, C₁ – вторые точки пересечения окружностей.

  Так как прямая BC – касательная к окружности, проходящей через H и H₁ и  HH₁ ⊥ BC,  то HH₁ – диаметр одной из окружностей, данных в условии. Аналогично для двух других окружностей.
  Поэтому  ∠HC₁H₂ + ∠HC₁H₁ = 90° + 90° = 180°,  то есть C₁ лежит на отрезке H₁H₂. Аналогично  A₁ ∈ H₂H₃.  Точки B, H₂, H₃, C лежат на окружности с диаметром BC, следовательно,  ∠HH₂A₁ = ∠BH₂H₃ = ∠BCH₃ = 90° – ∠B.  Аналогично  ∠HH₂C₁ = 90° – ∠B.
  Значит, прямоугольные треугольники HH₂A₁ и HH₂C₁ равны, а точки A₁ и C₁ симметричны относительно HH₂.
  Следовательно,  A₁C₁ ⊥ HH₂,  откуда  A₁C₁ || AC.  Аналогично  B₁C₁ || BC  и  A₁B₁ || AB,  что и доказывает подобие треугольников.

Источники и прецеденты использования