ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110781
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5+
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A1, B1, C1. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A2, B2, C2. Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекаются в одной точке.


Решение

Автор: Илюхина М.

  Пусть A' – точка пересечения касательных к описанной окружности Ω в точках B и C (аналогично построим точки B' и C'). Тогда, как известно, прямая AA' является симедианой треугольника ABC (см. задачу 56983). Пусть прямая AA' вторично пересекает Ω в точке A0. Тогда  ∠A1AB = ∠A0AC, то есть дуги BA1 и CA0 равны. Так как треугольник A'BC равнобедренный, то эти дуги симметричны относительно биссектрисы l угла BA'C. Значит, при этой симметрии точки A1 и A0 переходят друг в друга.
  Поскольку l – серединный перпендикуляр к BC, то A при этой симметрии переходит в A2 (см. рис.), а, следовательно, прямая A1A2 переходит в прямую AA'. Поэтому, так как прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке L (см. задачу 56924), то прямые A1A2, B1B2, C1C2 также пересекаются в точке, изогонально сопряженной L относительно треугольника A'B'C'.
  Случай, когда одной из точек A', B', C' не существует, аналогичен.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2006
Класс
Класс 10
задача
Номер 104

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .