Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.
Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.
Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что d² = a² + ad.
Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.
Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.
На рисунке изображена фигура ABCD .
Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки
(причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности,
причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию
или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC ,
чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.
|
|
 |
Условие
На рисунке изображена фигура ABCD .
Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки
(причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности,
причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию
или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC ,
чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.
Решение
Воспользуемся формулой площади трапцеии – площадь равна
произведению средней линии на высоту.
В нашем случае боковыми сторонами трапеции будут отрезок AD
и касательная MN , а основаниями трапеции –
отрезки (Эти отрезки на чертеже расположены вертикально,
а не горизонтально, что стилистически менее привычно для названия
"основание трапеции". Тем не менее ничто не мешает формально
рассмотреть отрезки AM и DN качестве оснований трапеции.) AM и DN .
Очевидно, что высота трапеции (расстояние между основаниями, равное, например, перпендикулярному основаниям отрезку AD ) не зависит от выбора положения касательной. А вот среднюю линию можно менять. Проведём серединный перпендикуляр к AD . Обозначим точки его пересечения с AD и c дугой BC через K и L соответственно. Заметим, что средняя линия получаемых трапеций всегда будет содержаться в отрезке KL .
Значит, площадь максимальна, если средняя линия совпадет с KL . Поэтому следует провести касательную через точку L.
Ответ
Касательную к дуге BC надо провести через точку пересечения этой дуги с серединным перпендикуляром к отрезку AD .
