Задача 111475

Темы:    [ Три окружности одного радиуса ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Три равные окружности радиуса R пересекаются в точке M . Пусть A , B и C – три другие точки их попарного пересечения. Докажите, что: а) радиус окружности, описанной около треугольника ABC , равен R ; б) M – точка пересечения высот треугольника ABC .

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 – центры описанных окружностей треугольников AMC , AMB , BMC соответственно.

а) Поскольку O1MO2A , O2MO3B и O3CO1M – ромбы, то = и = , поэтому

= + = + = .
Аналогично,
= , = .
Следовательно, треугольник ABC равен треугольнику O3O1O2 , а т.к. радиус описанной окружности треугольника O3O1O2 равен R , то радиус описанной окружности треугольника ABC также равен R . б) AM O1O2 , поэтому AM BC . Аналогично, BM AC , а CM AB .

а) Пусть A1 , B1 и C1 – середины сторон O1O2 , O2O3 и O1O3 треугольника O1O2O3 . Радиус описанной окружности треугольника O1O2O3 равен R , а треугольник B1C1A1 подобен ему с коэффициентом , поэтому радиус описанной окружности треугольника B1C1A1 равен R . Точки A1 , B1 и C1 – середины отрезков MA , MB и MC , поэтому радиус описанной окружности треугольника ABC вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника A1B1C1 , т.е. равен R . б) (Для случая остроугольного треугольника.) Углы ABM и ACM опираются на одну и ту же хорду AM . Поскольку радиус окружности, проходящей через точки A, B и M , равен радиусу окружности, проходящей через точки A , C и M , то ABM = ACM = α . Аналогично, BAM = BCM = β и CAM = CBM = γ . Сумма углов треугольника ABC равна 2(α +β +γ) = 180^o , поэтому α + β + γ = 90^o . Пусть K – точка пересечения прямых BM и AC . Тогда
BKC = 180^o- α - β -γ= 90^o.
Следовательно, высота BK треугольника ABC проходит через точку M . Аналогично для остальных высот.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4621