ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111645
Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник A1A2A3. Докажите, что на дугах A1A2, A2A3, A3A1 можно отметить по одной точке (B1, B2, B3 соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника A1B1A2B2A3B3 численно равнялась периметру треугольника A1A2A3.


Решение

Проведём радиусы  OB1A1A2OB2A2A3OB3A3A1.  Поскольку диагонали четырёхугольника OA1B1A2 перпендикулярны, его площадь равна
 ½ OB1·A1A2 = A1A2.  То же верно для четырёхугольников OA2B2A3 и OA3B3A1.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .