Задача 111650

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник A₁A₂...A₃₀. Докажите, что на дугах A₁A₂, A₂A₃, ..., A₃₀A₁ можно отметить по одной точке (B₁, B₂, ..., B₃₀ соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника A₁B₁A₂B₂...A₃₀B₃₀ численно равнялась периметру тридцатиугольника A₁A₂...A₃₀.

Решение

См. задачу 111645.

Замечания

1. Один из четырёхугольников OA_iB_iA_i+1 может оказаться невыпуклым (если центр окружности лежит снаружи исходного тридцатиугольника), но его площадь все равно вычисляется так же.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3