Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .

Решение

Докажем сначала, что BD=BE . Пусть окружность S1 касается окружности S в точке N , отрезка CD — в точке M , а продолжение отрезка DC пересекает окружность S в точке F . Заметим, что точка B — середина дуги DF , не содержащей точку A . Расмотрим гомотетию с центром в точке N касания окружностей, переводящую окружность S1 в окружность S . Касательная DF к окружности S1 перейдёт в параллельную ей касательную l к окружности S . Касательная, параллельная хорде DF , делит дугу DF пополам. Тогда точка M перейдёт в середину B дуги DF , не содержащей точку N . Следовательно, прямая MN проходит через середину B этой дуги. Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что

BE2 = BM· BN = BM(BM+MN)= BM2+BM· MN =

=(BC2+CM2) + DM· MF = (BC2+CM2) + (CD-CM)(CF+CM)=

=(BC2+CM2) + (CD-CM)(CD+CM)= (BC2+CM2) + (CD2-CM2)=

=BC2+CD2 = BD2.
Следовательно, BE=BD . Что и требовалось доказать. (Другой способ. Вписаные углы DNB и DAB опираются на одну и ту же дугу, поэтому
DNB = DAB = 90^o- DBA = BDM,
значит, треугольники BMD и BDN подобны по двум углам. Тогда = . Следовательно,
BE2 = BM· BN = BD2.
Что и требовалось доказать.) Перейдём к нашей задаче. Поскольку точка D лежит на окружности с диаметром AB , треугольник ADB — прямоугольный. Обозначим ABD = α . Тогда
ADC = α, BDC = 90^o- α, BDE = BED = 90^o-,

CDE = BDE - BDC = (90^o-)- (90^o- α)= = ADC.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования