Задача 111768

Темы:    [ Неравенства с объемами ] [ Неравенства с площадями ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Объем параллелепипеда ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м³ ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м² ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?

Решение

Нельзя. Предположим, что хороший тетраэдр объема V с площадью поверхности S помещен внутри хорошего параллелепипеда объема V' , площади граней которого равны S₁ , S₂ , S₃ ( S₁ S₂ S₃ ), На соответствующие высоты равны h₁ , h₂ , h₃ . По условию V=S и V'=2(S₁+S₂+S₃) . Впишем в тетраэдр сферу σ радиуса r . Так как V=Sr , то r=3 . Сфера σ лежит между парой параллельных плоскостей, содержащих грани параллелепипеда, поэтому h₁> 2r=6 . Отсюда

V'=S₁h₁> 6S₁ 2(S₁+S₂+S₃) = V'.
Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	07.4.11.7