Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ ,
являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство
Докажите, что для всех x(0;
) при
n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .
Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.
|
|
 |
Условие
Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.
Решение
Рассмотрим граф, вершинами которого являются бюрократы, причём два бюрократа из разных комиссий соединены красным ребром, если они знакомы, и синим – в противном случае. Пусть в трёх комиссиях a, b и c бюрократов. Рассмотрим произвольных бюрократов A, B из первых двух комиссий. Пусть они знакомы. Тогда существует ровно 10 треугольников ABC, в которых все ребра красные. Аналогично для незнакомых A и B найдутся ровно 10 треугольников ABC, в которых все рёбра синие. Значит, общее число одноцветных треугольников равно 10ab. Аналогично оно же равно 10ac и 10bc, поэтому a = b = c.
Для трёх бюрократов A, B, C из разных комиссий, будем говорить, что B и C похожи для A, если A соединен с B и C ребрами одного цвета. Для каждого бюрократа найдём количество пар, похожих для него, и подсчитаем сумму s всех этих чисел двумя способами.
С одной стороны, каждая пара бюрократов B, C из разных комиссий является похожей ровно для 20 бюрократов; всего таких пар 3a², следовательно,
s = 60a². С другой стороны, в любом одноцветном треугольнике ABC каждые два бюрократа похожи для третьего; если же треугольник ABC разноцветный (скажем, ребро AB отличается по цвету от других), то в нём ровно одна пара (A, B) похожа для третьего. Так как количество одноцветных треугольников равно 10a², а разноцветных – a³ – 10a², то s = 30a² + (a³ – 10a²). Значит, 60a² = a³ + 20a², откуда a = 40.
Ответ
120 бюрократов.
