На плоскости расположено [ n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.

   Решение

В блицтурнире принимали участие  2n + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

   Решение

Известно, что многочлен  (x + 1)ⁿ – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.

   Решение

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

   Решение

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

   Решение

Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?

   Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если  AB = AE = ED = 1,  то  BC + CD  < 1.

   Решение

Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.

Решение

Пусть G – точка, симметричная точке A относительно прямой EP. Из симметрии  PF = PA = PG,  а также  FD = AD,  GE = AE.  Поскольку AD и AE – равные отрезки касательных,  FD = GE.  Далее,  ∠(, )  (угол от вектора до вектора , отсчитываемый против часовой стрелки) равен
∠ADE = 2∠BDP = ∠DPE + 2∠DEP  и аналогично  ∠(, ) = ∠AED + 2∠CEP = ∠DPE + 2∠EDP.  Значит,
∠(, ) = ∠(, ) + ∠(, ) = (∠DPE + 2∠EDP) + (∠DPE + 2∠DEP) = 2(∠DPE + ∠DEP + ∠EDP) = 360°,  то есть векторы и сонаправлены и равны. Следовательно, FDGE – параллелограмм. Точка M – середина диагонали DE, значит, она также является серединой диагонали FG. Следовательно, PM – медиана (а значит, и высота) равнобедренного треугольника FPG.

Источники и прецеденты использования