Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nⁿ не является делителем числа 2008!.

   Решение

Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

   Решение

Докажите, что если боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.

   Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

   Решение

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

Решение

Пусть прямая MN вторично пересекает описанные окружности Ω₁ и Ω₂ треугольников AHN и CHM в точках D и E, а прямую PH – в точке S. Поскольку HN– медиана прямоугольного треугольника BHC, то  HN = CN  и  ∠NHC = ∠NCH.  Из параллельности хорд ME и HC окружности Ω₂ следует, что четырёхугольник MHCE – равнобокая трапеция, поэтому  HM = CE  и  ∠MHC  = ∠ECH.  Следовательно,
∠MHN  = ∠MHC  – ∠NHC  = ∠ECH  – ∠NCH  = ∠ECN.  Значит, треугольники MHN и ECN равны по двум сторонам и углу между ними, откуда
NE = MN.  Аналогично  DM = MN.  Обозначим длину этих трёх отрезков через a, а длины отрезков MS и NS через x и y. Из вписанности четырёхугольников DHNP и MHEP получаем  MS·SE = PS·SH = NS·SD,  то есть  x(a + y) = y(a + x),  или  ax = ay.  Таким образом, S – середина MN, что и требовалось.

Замечания

Утверждение задачи верно для произвольного треугольника ABC. Доказательство полностью аналогично изложенному.

Источники и прецеденты использования