Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  касается сторон AB и BC.
Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение высоты BD к стороне AC равно  3 : 8.

   Решение

---

Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно для любой другой вершины пирамиды.

   Решение

---

Площадь прямоугольного треугольника равна r2 , где r – радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Найдите стороны треугольника.

   Решение

---

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

   Решение

---

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQ ⊥ OP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

   Решение

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQ ⊥ OP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

Решение

  Пусть окружности ω₁ и ω₂ пересекают лучи AB и AC в точках D и E соответственно. По теореме о произведении отрезков секущих
AB·AD = AP·AQ = AC·AE.  Так как  AB = AC,  то  AD = AE.  Пусть K – середина DE. Тогда прямая AK является медианой, высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника ADE, в частности, AK проходит через O.

  Точки A, B, C, P, O лежат на окружности с диаметром AO. Из вписанных четырёхугольников ABPC, BPQD, CPQE:
∠PQD = 180° – ∠PBD = ∠ABP = 180° – ∠ACP = ∠PCE = 180° – PQE,  поэтому точка Q лежит на отрезке DE. Так как четырёхугольник PQDM вписанный, то  ∠MDQ = ∠MPQ = 90°,  отсюда  MD ⊥ DE.  Аналогично  NE ⊥ DE.  Таким образом,  MD || OK || NE  и  DK = KE.  Следовательно,
OM = ON.

Источники и прецеденты использования