Задача 111921

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A₁ , B₁ . Пусть A₂ , B₂ — ортоцентры треугольников CAA₁ и CBB₁ . Докажите, что прямая A₂B₂ перпендикулярна биссектрисе угла C .

Решение

Опустим из B и A₁ высоты на AC соответственно в точки B₃ и B₄ , аналогично построим точки A₃ и A₄ (рис.). Заметим, что AB₁=BA₁=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A₃A₄=B₃B₄=(p-c) cosγ . Отрезки A₃A₄ и B₃B₄ являются проекциями отрезка A₂B₂ на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A₂B₂ с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B₁ лежит на отрезке AC , то A₄ лежит на отрезке A₃C , а значит B₂ лежит на луче HB₃ . Аналогично A₂ лежит на луче HA₃ . Значит, биссектриса угла A₃HB₃ пересекает отрезок A₂B₂ . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA₃CB₃ углы A₃ и B₃ — прямые). Таким образом, получаем, что A₂B₂ не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	5