Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

   Решение

На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отложен отрезок AE длины l . На диагонали B₁D₁ его верхней грани отложен отрезок B₁F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?

   Решение

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

   Решение

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

   Решение

Найти все действительные решения уравнения x²+2x sin xy+1=0 .

   Решение

Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.

   Решение

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если  BD = a.

   Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB в точке X, серединный перпендикуляр к стороне AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y и Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что  AX = YZ.

   Решение

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Решение

Пусть I  — точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Тогда B₁IC₁ = BIC = 180^o - IBC - ICB = 180⁰ - ( ABC + ACB) / 2 = 180^o - 60^o = 120^o = 180^o - B₁AC₁ . Значит, четырёхугольник AB₁IC₁ вписан в окружность. Отсюда AC₁B₁ = AIB₁ = ABI + BAI = ( A + B) / 2 (поскольку AIB₁  — внешний в Δ ABI ), и аналогично AB₁C₁ = ( A + C) / 2 . Пусть описанная окружность треугольника BC₁I пересекает прямую BC в точке K (легко понять, что эта точка не может попасть на продолжение стороны BC ). Тогда IKC = 180^o - BKI = BC₁I = 180^o - AC₁I = AB₁I = 180^o - IB₁C , то есть четырёхугольник IB₁CK также вписан. Наконец, поскольку четырёхугольники AB₁IC₁ , BC₁IK и CKIB₁ вписаны, мы имеем KC₁B₁ = KC₁I + IC₁B₁ = KBI + IAB₁ = ( B + A) / 2 = AC₁B₁ , и аналогично KB₁C₁ = KB₁I + IB₁C₁ = ( C + A) / 2 = AB₁C₁ . Значит, треугольники AB₁C₁ и KB₁C₁ равны по стороне B₁C₁ и двум прилежащим к ней углам. Тогда они симметричны относительно B₁C₁ , а тогда и точки A и K также симметричны. Поскольку точка K лежит на BC , решение закончено.

Источники и прецеденты использования