|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC, AA1, BB1 и CC1 – его биссектрисы. Известно, что величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите, что A1B1 = A1C1.
Решение
Обозначим: α = π/7.
Первый способ. Пусть углы A, B, C равны 4α, 2α, α, I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Равенства ∠AB1I = 2α = ∠IAB1,
∠СC1A = 5α/2 = ∠C1IA влекут равенство отрезков AC1 = AI = IB1. Аналогично из равенств ∠ABA1 = 2α = ∠BAA1, ∠BIA1 = 3α = ∠B1AI следует, что AA1 = BA1 = BI.
Выберем на отрезке BI такую точку K, что ∠BA1K = α. Тогда ∠BA1K = ∠KBA1, ∠KA1I = ∠IKA1 = 2α, поэтому IK = IA1 и
KA1 = KB = BI – IK = AA1 – IA1 = AI = AC1, B1K = B1I + IK = AI + IA1 = AA1. Треугольники KA1B1 и AC1A1 равны по двум сторонам и углу между ними, отсюда A1B1 = A1C1.
Второй способ. В правильном семиугольнике ABXYZCT отношения углов треугольника ABC как раз 4 : 2 : 1. Опишем вокруг семиугольника окружность с центром O. Биссектрисы AA1 и BB1 проходят через середины дуг BC и AC – точки Y и T соответственно. Из симметрии относительно прямой OZ видим, что BA1 = AA1 и YA1 = CA1, а из симметрии относительно прямой OY – что YB1 – биссектриса угла AYT. При повороте на угол 3α вокруг точки A1 точка B перейдёт в A, С – в Y, луч BA – в луч AC, а луч СС1 – в луч YB1 (угол между ними равен 3α). Поэтому C1 (точка пересечения BA и CC1) перейдёт в B1 (точка пересечения AC и YB1), тем самым отрезок A1C1 перейдёт в отрезок A1B1.
Третий способ. Достаточно доказать равенство треугольников AA1B1 и BA1С1, для чего достаточно проверить равенство AB1 = BС1. Выражая эти отрезки через стороны треугольника ABC, сводим всё к проверке равенства b(a + b) = a(a + c), то есть (теорема синусов)
sin 2α (sin 4α + sin 2α) = sin 4α (sin 4α + sin α). Но sin 2α (sin 4α + sin 2α) = 2 sin 2α sin 3α sin α и
sin 4α (sin 4α + sin α) = sin 3α (sin 3α + sin α) = 2 sin 3α sin 2α sin α.
Замечания
1. Равенство b(a + b) = a(a + c) можно проверить и без тригонометрии. Продолжим сторону CB за точку B на отрезок BP = c. Пусть прямая CA второй раз пересекает описанную окружность треугольника ABP в точке Q. Тогда ∠PAB = ∠APB = α, поэтому QB – биссектриса угла Q, т.е. треугольник QBC равнобедренный: BQ = BC = a. Кроме того, ∠ABQ = ∠A – ∠QAC = 3α, т.е. треугольник AQB равнобедренный: AQ = BQ = a. По теореме о секущей CA·CQ = CB·CP, т.е. b(a + b) = a(a + c).
2. 7 баллов.
3. Задача была опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2006, №3, задача М2001).
