Задача 115778

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB' и CC'. Пусть P – точка пересечения A'B' и CC', а Q – точка пересечения A'C' и BB'.
Докажите, что  ∠PAC = ∠QAB.

Решение

Применяя теорему синусов к треугольникам AC'Q и AA'Q, получаем (см. рис.)    

Аналогично     По теореме Чевы (см. задачу 53856) эти отношения равны, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	15