Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... .
На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять три цифры 5 подряд?
Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?
На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)
На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утверждает, что его можно разрезать диагональю на два остроугольных треугольника. Боря – что можно на два прямоугольных, а Вася – что на два тупоугольных.
Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно наверняка утверждать, что он прав?
Площадь трапеции, высота которой вчетверо меньше разности оснований, равна 17. Найдите произведение средней линии трапеции и отрезка, соединяющего середины её диагоналей.
На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.
|
|
 |
Условие
На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.
Решение
Очевидно, что n > 3. Рассмотрим произвольный
четырёхугольник с вершинами в данных точках. Если центр окружности лежит внутри четырёхугольника и не на его диагонали (назовем такой четырёхугольник хорошим), то из четырёх треугольников, образованных вершинами четырёхугольника, остроугольных ровно два. Во всех остальных случаях остроугольных треугольников меньше двух. Следовательно, условие задачи выполняется только тогда, когда все четырёхугольники, образованные данными точками, хорошие. Очевидно, что при n = 4 и n = 5 это возможно (например, можно взять вершины правильного пятиугольника).
Пусть n > 5. Рассмотрим какую-нибудь из данных точек A и проведём через нее диаметр AA'. Если точка A' отмечена, то четырёхугольник, образованный A, A' и любыми двумя из остальных точек, не будет хорошим. В противном случае найдутся три отмеченные точки, лежащие по одну сторону от AA'. Четырёхугольник, образованный этими точками и точкой A, не является хорошим.
Ответ
n = 4 или 5.
