ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115904
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Окружности, вписанные в сегмент ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?


Решение 1

  Пусть P – точка пересечения диагоналей, а окружности, вписанные в криволинейные треугольники ABP, BCP, CDP, DAP, касаются описанной окружности четырёхугольника ABCD в точках K, L, M, N.
  Рассмотрим сегмент ABC. Когда точка X движется по дуге ABC от A к C, радиус окружности, вписанной в сегмент и касающейся дуги в точке X, возрастает, пока X не достигнет середины дуги, и убывает после этого. Следовательно, равным радиусам соответствуют симметричные относительно середины дуги положения X.
  Таким образом,  ⌣AK = ⌣LC.  Аналогично  ⌣AN = ⌣MC.  Значит,  ⌣NK = ⌣LM,  и  ⌣KL = ⌣MN.  Поэтому  ⌣NL = ⌣NK + ⌣KL = 180°,  то есть NL – диаметр окружности. Аналогично, KM тоже является диаметром.
  Симметрия относительно центра O описанной окружности переводит пару окружностей, касающихся её в точках M и N, в пару окружностей, касающихся в точках K и L. Следовательно, общая внешняя касательная первой пары AC перейдёт в CA. Поэтому AC и аналогично BD – диаметры окружности, то есть ABCD – прямоугольник. Его диагонали делят описанную окружность на четыре сектора, и радиусы окружностей, вписанных в эти секторы, равны. Значит, равны и сами секторы, то есть ABCD – квадрат.


Решение 2

  Применяя теорему Тебо (см. задачу 56705) к треугольникам ABC, BCD, CDA, DAB и точке пересечения диагоналей, получаем, что радиусы вписанных окружностей всех четырёх треугольников равны. Вычислив площадь каждого из этих треугольников как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности, и приравняв суммы площадей двух пар треугольников, получим, что  AC = BD,  то есть ABCD – равнобедренная трапеция или прямоугольник. Предположим, что AD, BC – ее основания и  AD > BC.  Тогда  SABD : SABC = AD : BC > (AD + BD + AB) : (BC + AB + AC),  и радиусы вписанных окружностей этих треугольников не могут быть равными. Следовательно, ABCD – прямоугольник. Аналогично предыдущему решению получаем, что ABCD – квадрат.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Класс
Класс 9
задача
Номер 9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .