Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
B треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Прямая a проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины A, и параллельна OA. Aналогично определяются прямые b и c. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Решение
Опустим перпендикуляр из точки О1 на сторону ВС (см. рис.). Основание этого перпендикуляра – точка А0 – является серединой стороны ВС.
Продолжим отрезок АО1 до пересечения со стороной ВС в точке А1. О1 – середина отрезка АА1.
Проведём в треугольнике АВС высоту АА2. Так как О1А0 || АА2, то точка А0 является серединой отрезка А1А2. Таким образом, точки А1 и А2 симметричны относительно точки А0, значит СА1 = BA2 и BА1 = CA2.
Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы
Замечания
Рассмотренные чевианы АA1, ВB1 и СC1 изотомически сопряжены чевианам АA2, ВB2 и СC2, а искомая точка H' их пересечения – это точка, изотомически сопряженная ортоцентру H треугольника АВС (см. рис.). Более подробно об этих и других замечательных точках треугольника – см. книгу А.Г. Мякишева "Элементы геометрии треугольника".
