Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

   Решение

---

Даны N синих и N красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу
  а) для  N = 3;
  б) для произвольного натурального  N > 3.

   Решение

---

В некотором множестве введена операция *, которая по каждым двум элементам a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a*b этого множества. Известно, что: 1°. Для любых трех элементов a, b и c
          a*(b*c) = b*(c*a).
2°. Если a*b = a*c, то b = c.
3°. Если a*c = b*c, то a = b.

Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a*b = b*a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a*b)*c = a*(b*c).

   Решение

---

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

   Решение

---

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I$, касающаяся сторон $CA$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно. Точки $M$, $N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM=CE$ и $BN=BF$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN$.

   Решение

---

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Обозначим точку пересечения прямой A₁A' с прямой A₂I через X_A, а описанную окружность ΔABC через ω (см. рис.). По условию  ∠A₂XAA₁ = 90°.  Так как A₂A₁ – диаметр, точка X_A лежит на ω. Рассмотрим теперь описанные окружности ω₁ и ω₂треугольников ABC, BIC и IX_AA₁. Радикальная ось ω и ω₁ есть прямая BC, а ω₁ и ω₂ – X_AA₁. Значит, радикальным центром всех этих трёх окружностей является точка A'. Заметим, что точка A₁ является центром ω₁ (см. задачу 53119). Так как угол IX_AA₁ прямой, то IX_A – диаметр ω₂. Следовательно, ω₁ и ω₂ касаются в точке I. Значит, касательная к этим окружностям, проведённая в точке I, проходит через A', и  A'I² = A'B·A'C  (по теореме о касательной и секущей).

  Рассмотрим ω и точку I, как вырожденную в точку окружность. Из последнего равенства следует, что точка A' лежит на радикальной оси этих двух окружностей. По аналогичным причинам на этой радикальной оси лежат и точки B' и C'. Так как радикальная ось двух окружностей – прямая, то все эти три точки лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров этих окружностей, то есть прямой OI.

Источники и прецеденты использования