Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nⁿ не является делителем числа 2008!.

   Решение

---

Докажите, что первые цифры чисел вида 2²ⁿ образуют непериодическую последовательность.

   Решение

---

Докажите, что если боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P   (P ≠ H).  Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

   Решение

---

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер AB , AA1 , AD и плоскости B1CD1 ; б) рёбер AB , AA1 , AD и прямой CD1 .

   Решение

---

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

   Решение

---

Дан треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

   Решение

---

B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо. После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо. Сколько конфет после этого осталось?

   Решение

---

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

   Решение

---

Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.
a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 72^o ?

   Решение

---

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

   Решение

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Решение

  Присвоим номера спортсменам по убыванию их скоростей на старте. Нарисуем графики их движения, откладывая время по оси абсцисс, а расстояние до точки A – по оси ординат. Пусть O – начало координат, S – точка на оси ординат сооответствующая точке B,   (OS = 60 м),  K, L, M – точки на графиках трёх спортсменов в момент их нахождения в точке B, T – точка на оси абсцисс, соответствующая моменту финиша, P, Q, R – точки, соответствующие моменту встречи первого и второго, второго и третьего, третьего и первого спортсменов соответственно, P', Q' и R' – проекции этих точек на ось ординат (см. рис.).

  Заметим, что для любых трёх заданных точек на прямой существует единственная точка, сумма расстояний от которой до заданных будет минимальной – это средняя из трёх заданных точек. Следовательно, тренер всегда будет находиться рядом со спортсменом, который находился между двумя другими. Тогда график движения тренера описывается ломаной OPRQT, а длина l его пути равна  OP' + P'R' + R'Q' + Q'O.

  Обозначим длины отрезков KL, LM и OT через a, b и t соответственно. Так как  KL || OT,  то треугольники KPL и TPO подобны и
KP : PT = KL : OT = a : t.  Аналогично  LQ : QT = LM : OT = b : t  и  KR : RT = KM : OT = (a + b) : t.  По теореме о пропорциональных отрезках
SP' : P'O = KP : PT = a : t.  Отсюда  OP' = ^60t/_a+t.  Аналогично  OQ' = ^60t/_b+t  и  OR' = ^60t/_a+b+t.  Значит,

  Так как  b < t – a,  а выражение     тем меньше, чем больше b, то    и

  Квадратный трёхчлен  (a + t)(2t – a)  (как функция от a) принимает наибольшее значение  ^9t²/₄  при  a = ^t/₂.  Значит,  l > 120t (⁴/_3t – ¹/_2t) = 100.

Ответ

Не мог.

Источники и прецеденты использования