Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?
Дан параллелограмм ABCD с тупым углом A. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BC. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке K. Докажите, что точки K, H, C и D лежат на одной окружности.
Предложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.
В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.
Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
|
|
 |
Условие
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
Решение
Пусть цвета – синий, красный, жёлтый. Нарисуем чёрный 45-угольник на прозрачной пленке и наложим его на исходный. Назовём это положением С. Обведём на пленке кружками 15 синих вершин. Поворачивая пленку каждый раз на угол 360° : 45 = 8°, совмещаем вершины на пленке с вершинами исходного треугольника и считаем количество кружков, содержащих красные вершины. В среднем за полный оборот это количество равно
15·15 : 45 = 5. Так как в положении С таких кружков 0, то в некотором положении К "красных" кружков не менее шести. Оставим на пленке только эти шесть кружков. Аналогично найдём положение пленки Ж, где в эти 6 кружков попало более двух (то есть не менее трёх) жёлтых вершин. Сотрём все кружки, кроме этих трёх. Они и дадут нам три равных треугольника: в положении Ж – жёлтый, в положении К – красный, в положении С – синий.
