Задача 116455

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно так, что  AD = ⅓ AC,  CE = ⅓ CE.  Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке F. Найдите угол BFC.

Решение 1

  При повороте на 120° вокруг центра треугольника АBC вершина В перейдёт в вершину А, а точка D – в точку Е, поэтому прямая BD перейдёт в прямую АЕ. Следовательно, угол DFE между этими прямыми равен 120°.

  Рассмотрим середину G отрезка CD. Поскольку  GE = GC,  E лежит на окружности с диаметром CD. Но точка F также лежит на этой окружности (сумма углов DCE и DFE равна 180°). Значит, угол CFD прямой.

Решение 2

  Продолжим отрезок CF до пересечения с AB в точке H. По теореме Чевы (см. задачу 53856)  AB = ⅕ AB.
  Положим тогда Будем считать, что  b² = c² = 1,  тогда  (b, c) = ½,  а
(b – ⅓ c, c – ⅕ b) = ½ – ⅓ – ⅕ + ¹/₃₀ = 0.   Следовательно, прямые BD и CH перпендикулярны.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.4.2