На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)

   Решение

KLMN – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL.
Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

   Решение

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AC и AB отметили точки K и L соответственно, причём прямая KL параллельна BC и  KL = KC.  На стороне BC выбрана точка M так, что  ∠KMB = ∠BAC.  Докажите, что  KM = AL.

   Решение

Темы:    [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AC и AB отметили точки K и L соответственно, причём прямая KL параллельна BC и  KL = KC.  На стороне BC выбрана точка M так, что  ∠KMB = ∠BAC.  Докажите, что  KM = AL.

Решение

Пусть KP и LQ – высоты треугольников KMC и LAK. Прямые KL и BC параллельны, поэтому  ∠KCM = ∠AKL,  значит, прямоугольные треугольники CKP и KLQ равны по гипотенузе  (CK = KL) и острому углу. Тогда  KP = LQ  и прямоугольные треугольники KPM и LQA равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно,  KM = AL.

Источники и прецеденты использования