Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найти геометрическое место центров вписанных в треугольник ABC прямоугольников (одна сторона прямоугольника лежит на AB).

   Решение

---

Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

   Решение

---

Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна  ½ AC² sin∠A.

   Решение

---

{a₁, a₂, ..., a₂₀} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b₀, b₁, b₂, ...} по следующему правилу:
b₀ — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b₁ — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b₂ — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.

   Решение

---

Разрежем на четыре части. Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части (резать можно по сторонам и диагоналям клеток).

   Решение

---

На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.

_ _|_|_ _|_|_|_|_ _|_|_|_|_|_|_ |_|_|_|_|_|_|_| ..................... _ _ _ _ _ _ _ _ |_|_|_|_| ....... |_|_|_|_|

Рис. 1

   Решение

---

Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички, разбитый на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок).

А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек, разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?

   Решение

---

Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.

   Решение

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.

Решение

  Число  11! = 1·2·...·9·10·11 делится на 9·10·11 = 990.
  При  n! < 11  число n! не делится даже на 11.

Ответ

n = 11.

Источники и прецеденты использования