Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равенстве  (ay^b)^c = – 64y⁶  замените a, b и c целыми числами, отличными от 1, так, чтобы получилось тождество.

   Решение

---

У Пети в бутылке было "Фанты" на 10% больше, чем у Васи. Петя отпил из своей бутылки 11% её содержимого, а Вася из своей – 2% содержимого. У кого после этого осталось больше "Фанты"?

   Решение

---

Имеется таблица n×n, в  n – 1  клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?

   Решение

---

Решите неравенство:  

   Решение

---

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

Решение

  Без ограничения общности можно считать, что точка M лежит между A и K. Пусть O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK соответственно. Прямые O₁O₃ и O₁O₂ являются соответственно серединными перпендикулярами к отрезкам BM и AB. Значит, углы O₂O₁O₃ и ABM равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

  Аналогично  ∠O₂O₄O₃ = ∠CBK,  а значит,  ∠O₂O₄O₃ = ∠O₂O₁O₃.  Это и означает, что точки O₁, O₂, O₃, O₄ лежат на одной окружности.

Замечания

Точка пересечения прямых O₁O₂ и O₃O₄ – центр O описанной окружности треугольника ABC, причём точки O₂ и O₃ лежат соответственно на отрезках OO₁ и OO₄. Это позволяет обосновать расположение точек на рисунке.

Источники и прецеденты использования