Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?
Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что треугольник A1B1C1 не может быть правильным.
Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
Один из углов треугольника на 120° больше другого.
Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.
В стране Полосатии произошёл переворот и новый лидер приказал перекроить старый флаг на новый (см. рисунки). Как выполнить такой приказ, если разрешается разрезать старый флаг ровно на четыре части?
У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?
На вопрос о возрасте его детей математик ответил:
– У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей – 14 лет.
Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?
Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P(19) = P(94) = 1994.
Окружность с центром на диагонали AC трапеции
ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A
и B , касается стороны CD в точке C и пересекает
основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции
ABCD , если AB=5 , CD=10
.
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 3)(n + 4) будет целым.
|
|
 |
Условие
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 3)(n + 4) будет целым.
Решение
Подставив n = 1, n = 3 и n = 4, получаем, что числа 2²·3·5a, 2·3²·5·7a и 26·3·7a – целые. Значит, a –
рациональное число, имеющее несократимую запись p/q, где q является делителем числа НОД(2²·3·5,
2·3²·5·7, 26·3·7) = 6. Итак, a = k/6 при некотором целом k.
Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чисел n + 2, n + 3, n + 4 делится на 3, а одно из последовательных чисел n + 2, n + 3 делится на 2; значит, n(n + 2)(n + 3)(n + 4) делится на 6. Поэтому
an(n + 2)(n + 3)(n + 4) = ⅙ kn(n + 2)(n + 3)(n + 4) – целое число.
Ответ
a = k/6, где k – любое целое число.
Замечания
1. Согласно задаче 61451 многочлен ax(x + 2)(x + 3)(x + 4) принимает целые значения не только при всех натуральных, но и при всех
целых x. Подставляя x = –1, сразу получаем, что 6a – целое число.
2. Ср. с задачей 116544.
