Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, $AD$ – биссектриса. Построен равносторонний треугольник $PDQ$ с высотой $DA$. Прямые $PB$ и $QC$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $AK$ – симедиана треугольника $ABC$.

   Решение

---

В остроугольный треугольник ABC вписана окружность с центром I, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. В четырёхугольники ADIF и BDIE вписаны окружности с центрами J₁ и J₂ соответственно. Прямые J₁J₂ и AB пересекаются в точке M. Докажите. что  CD ⊥ IM.

   Решение

---

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A₁B₁C₁D₁E₁ (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.

   Решение

---

Если Конек-Горбунок не будет семь суток есть, или спать, то лишится волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

   Решение

---

Попробуйте найти два числа, идущих подряд; у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе делится на 8.

   Решение

---

Комплект косточек домино выложен в виде прямоугольника 8×7 клеток. Попробуйте определить, как расположены косточки?

   Решение

---

Внутри прямоугольного треугольника АВС выбрана произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PK и РМ на катеты АС и ВС соответственно. Прямые АР и ВР пересекают катеты в точках A' и B' соответственно. Известно, что  S_APB' : S_KPB' = m.  Найдите  S_MPA' : S_BPA'.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри прямоугольного треугольника АВС выбрана произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PK и РМ на катеты АС и ВС соответственно. Прямые АР и ВР пересекают катеты в точках A' и B' соответственно. Известно, что  S_APB' : S_KPB' = m.  Найдите  S_MPA' : S_BPA'.

Решение

S_KPB' : S_APB' = KB' : AB',   S_MPA' : S_BPA' = MA' : BA'.  Докажем, что эти отношения равны. Для этого достаточно доказать, что  KB' : KA = MA' : MB.

Пусть  ∠KAP = ∠MPA' = α,  ∠MBP = ∠KPB' = β,  тогда  KB' = KP tg β = KA tg α tg β.  Аналогично и  MA' = MB tg α tg β.  Таким образом, оба отношения равны  tg α tg β.

Ответ

¹/_m.

Замечания

Можно провести похожие рассуждения, в которых вместо тригонометрии используется несколько пар подобных треугольников. Отсюда ясно, что полученный результат справедлив и в более общем случае: треугольник АВС – произвольный, а отрезки PK и PM параллельны его сторонам СВ и СА.

Источники и прецеденты использования