Выбрано 3 задачи 
Версия для печати
Убрать все задачи
Убрать все задачи
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Задача 116646
|
|
 |
Условие
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Решение
Числа n/d и n/d' целые, поэтому . Домножая на d²/n, получаем d' – d > d²/n.
