Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=c ,
A = α . Найдите радиус окружности,
касающейся катета AC , гипотенузы AB и окружности,
описанной около треугольника ABC .
Три шара радиусов 1, 3 и 4 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.
Основания трапеции равны 2 и 12, а диагонали – 6 и 10. Найдите угол между диагоналями.
Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC
параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые рёбра пирамиды?
Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X² году.
А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?
Объём тетраэдра ABCD равен V . На ребре AB взяты точки M и N , а на ребре CD – точки P и Q . Известно, что MN = α AB , PQ = β CD . Найдите объём тетраэдра MNPQ .
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
|
|
 |
Условие
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Решение
Заметим, что если сумма трёх единичных векторов равна нулю, то сумма каждых двух из них равна третьему с обратным знаком, то есть её модуль равен 1. Три таких единичных вектора можно расположить по разному.
Первый способ. Рассмотрим правильный треугольник АВС
со сторонами единичной длины (см. рис.). Тогда искомый пример: ,
и
.
Второй способ. Искомыми являются три единичных вектора
,
и
, образующие попарно углы 120° (см. задачу 55373 а).
Ответ
Можно.
