Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.

Вниз   Решение


Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

ВверхВниз   Решение


Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E,  AB = AD,  CA – биссектриса угла C,  ∠BAD = 140°,  ∠BEA = 110°.
Найдите угол CDB.

ВверхВниз   Решение


В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  R=50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.

ВверхВниз   Решение


Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

ВверхВниз   Решение


Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

ВверхВниз   Решение


Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.

ВверхВниз   Решение


Окружность C2 расположена внутри окружности C1 и касается ее в точке P. Секущая MN окружности C1(M, N $ \in$ C1) и секущая ST окружности C2 ( S, T $ \in$ C2) пересекаются в точке Q, причем PQ является касательной к окружности C1. Отрезки NS и TM пересекаются в точке O. Площадь треугольника MON в 16 раз больше площади треугольника OTS. Найдите длину отрезка PQ, если SQ = 9, MQ = 6 и TQ > SQ, NQ > MQ.

ВверхВниз   Решение


Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

ВверхВниз   Решение


Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?

ВверхВниз   Решение


Ювелир сделал незамкнутую цепочку из N>3 пронумерованных звеньев. Капризная заказчица потребовала изменить порядок звеньев в цепочке. Из вредности она заказала такую незамкнутую цепочку, чтобы ювелиру пришлось раскрыть как можно больше звеньев. Сколько звеньев придется раскрыть?

ВверхВниз   Решение


Автор: Мухин Д.Г.

Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I,  ∠ABC = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что  AP = CQ = AC.  Докажите, что угол PIQ – прямой.

Вверх   Решение

Задача 117007
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мухин Д.Г.

Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I,  ∠ABC = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что  AP = CQ = AC.  Докажите, что угол PIQ – прямой.


Решение 1

  Заметим, что  ∠ABQ = ∠CBP = ∠ABI = ∠CBI = 60°.

  Пусть  ∠BAC = 2x,  а  ∠BCA = 2y,  тогда (из треугольника ABC)  2x + 2y + 120° = 180°,  то есть  x + y = 30°.
  Треугольники ACI и QCI равны (по первому признаку), поэтому  ∠CQI = ∠CAI = x.  Из треугольника QBI:  ∠QIB = 180° – 120° – x = 60° – x. Аналогично  PIB = 60° – y.
  Таким образом,  ∠PIQ = ∠PIB + ∠QIB = (60° – y) + (60° – x) = 120° – (x + y) = 120° – 30° = 90°.


Решение 2

  Пусть биссектриса CI пересекает AQ в точке M (см. рис.).

Эта биссектриса – ось симметрии угла C, точки A и Q симметричны относительно неё, значит, углы AIM и QIM равны.
  ∠AIC = 90° + 60° = 150°  (см. задачу 55448), поэтому  ∠AIM = 30°,  а  ∠AIQ = 2∠AIM = 60°.
  Аналогично  ∠CIP = 60°,  и  ∠PIQ = 180° – ∠MIQ – ∠CIP = 180° – 30° – 60° = 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-03-17
класс
1
Класс 7 класс
задача
Номер 7.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .