На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.

   Решение

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60^o, BPC = BAC + 60^o, CPA = CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

   Решение

За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?

   Решение

Темы:    [ Планарные графы. Формула Эйлера ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

Решение 1

  Будем считать отмеченные точки и вершины квадрата вершинами, а соединяющие их отрезки и стороны квадрата – рёбрами плоского графа. Для каждого куска, на которые этот граф разбивает плоскость, подсчитаем число ограничивающих его рёбер, и все полученные числа сложим. Поскольку каждое ребро разделяет два куска, то в итоге получим удвоенное число рёбер. Так как все куски, кроме внешнего – треугольники, а внешний кусок ограничен четырьмя рёбрами, то  3(F – 1) + 4 = 2E,  то есть  E = 3(F – 1) : 2 + 2.  Заметим, что число вершин нашего графа равно 24 и подставим количества вершин и рёбер в формулу Эйлера (задача 30759):  24 – (½ (F – 1) + 2) + F = 2.
  Отсюда  F = 43.  Таким образом, число треугольников, на которые разбился квадрат, равно 42.

Решение 2

  Пусть квадрат разбился на n треугольников. Подсчитаем двумя способами сумму углов этих треугольников. С одной стороны, она равна 180°n. С другой стороны, эти углы составляют 20 полных углов и четыре угла квадрата, то есть сумма их равна  20·360° + 4·90° = 42·180°.  Отсюда  n = 42.

Ответ

42 треугольника.

Источники и прецеденты использования