В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

   Решение

Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

   Решение

Две окружности касаются в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B. Докажите, что  CAB = 90^o.

   Решение

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.

   Решение

Докажите, что:
а)  m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4;
б)  m_a² + m_b² + m_c² = 3(a² + b² + c²)/4.

   Решение

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

   Решение

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n².

   Решение

Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.

   Решение

Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?

Подсказка

Используйте закон равенства углов падения и отражения.

Решение

Пусть бильярдный шар начал движение из точки A отразился в точках B и C от двух соседних сторон бильярдного стола и вернулся назад в точку A. Обозначим через O общую вершину этих двух соседних сторон. Из прямоугольного треугольника OBC находим, что сумма углов OBC и OCB равна 90°. Согласно закону отражения  ∠ABC + ∠BCD = (180° – 2∠OBC) + (180° – 2∠OCB) = 180°.  А это означает, что прямые AB и AC параллельны, следовательно, луч CD не проходит через точку A.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования