Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$
Известно, что x + 2y + 3z = 1. Какое минимальное значение может принимать выражение x² + y² + z²?
|
|
 |
Условие
Известно, что x + 2y + 3z = 1. Какое минимальное значение может принимать выражение x² + y² + z²?
Подсказка
Какую геометрическую интерпретацию имеет эта задача?
Решение
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве. Проведем плоскость П, заданную уравнением x + 2y + 3z = 1. Выражение
x² + y² + z² равно квадрату расстояния от начала координат O до точки с координатами (x, y, z). Расстояние от начала координат до точки
(x, y, z), лежащей в плоскости П, не превосходит расстояния от начала координат до плоскости П. Поэтому минимальное значение выражения x² + y² + z² при условии x + 2y + 3z = 1 достигается тогда, когда точка (x, y, z) является основанием перпендикуляра, опущенного из O на плоскость П, и равно квадрату расстояния от O до плоскости П. Это расстояние можно вычислить по известной формуле. В результате получим
Ответ
1/14.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
