Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

   Решение

Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?

   Решение

Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.

   Решение

Даны квадратные трёхчлены  x² + 2a₁x + b₁,  x² + 2a₂x + b₂,  x² + 2a₃x + b₃.  Известно, что  a₁a₂a₃ = b₁b₂b₃ > 1.
Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.

   Решение

Уравнение  xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа a_n–1 и a_n взаимно просты.

   Решение

На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?

   Решение

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

   Решение

Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?

   Решение

Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

   Решение

Двойки по математике. В классе 25 учащихся. Из них 8 велосипедистов, 13 — в секции плавания, 17 — в лыжной секции. Ни один ученик не занимается в трех секциях. Все спортсмены учатся только на 4 и 5, не в пример 6 ученикам, имеющим тройки по математике. Сколько учеников имеет двойки по математике? Сколько велосипедистов занимается в секции плавания?

   Решение

30 тремя одинаковыми цифрами. Число 30 запишите в виде четырех различных выражений, из трех одинаковых цифр каждое. Цифры могут быть соединены знаками действий.

   Решение

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.

   Решение

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Неопределено ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Подсказка

Докажите, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно k-1 число, меньшее k.

Решение

Докажем, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно k-1 число, меньшее k. Применив затем это утверждение для k=1, 2, ... , получим, что в каждом промежутке от 1 до 2, от 2 до 3, ... , от k-1 до k добавляется ровно одно число вида [ma] или [nb]. Итак, зададимся некоторым натуральным k. Найдем числа M и N такие, что Ma<k<(M+1)a и Nb<k<(N+1)b. (Здесь мы имеем право взять строгие неравенства, поскольку a и b - иррациональные числа.) Тогда имеется ровно M+N чисел вида [ma] или [nb], меньших k. В самом деле, число [ma] меньше k в точности при m = 1, 2, ... , M; и аналогично число [nb] меньше k в точности при b = 1, 2, ... , N. Осталось понять, что M+N=k-1. Разделим неравенства Ma<k<(M+1)a и Nb<k<(N+1)b на a и b соответственно, а затем сложим их. Получим: M+N < k/a+k/b < M+N+2. По условию k/a+k/b=1, поэтому M+N < k < M+N+2. Таким образом, натуральное k заключено между натуральными числами M+N и M+N+2. Отсюда однозначно k=M+N+1, т.е. M+N=k-1, что мы и хотели доказать.

Источники и прецеденты использования