Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством
Докажите формулу Эйлера:
ea+ib = ea(cos b + i sin b).
Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.
В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты
AA1, BB1 и CC1. Докажите, что периметр
треугольника A1B1C1 не превосходит половины периметра
треугольника ABC.
Имеются два кошелька и одна монета. Внутри первого кошелька одна монета, и внутри второго кошелька одна монета. Как такое может быть?
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d , а ребра, исходящие из одной вершины относятся как m:n:p .
Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников ACO и DBO, если известно, что ∠ACO = ∠DBO и BO = OC.
На плоскости даны три окружности S1, S2 и S3. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S1, S2 и S3.
С помощью одного циркуля
а) постройте точки пересечения данной окружности S
и прямой, проходящей через данные точки A и B;
б) постройте точку пересечения прямых A1B1 и A2B2, где A1, B1, A2 и B2 – данные точки.
Решите неравенство .
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только
тогда, когда p > 2R + r.
Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.
|
|
 |
Условие
Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.
Решение
Пусть треугольник АВС с данными медианами ВD и CE и углом А, имеющим величину α, построен (см. рис. а, б). М — точка пересечения медиан.
Первый способ. Заметим, что точка А принадлежит геометрическому месту точек,
из которых отрезок СE виден под данным углом α (дуга окружности с центром О, см. рис. а).
Кроме того, |CM| : |ME| = 2 : 1 и .
Так как D — середина хорды АС, то ∠ODC = 90°.
Следовательно, точка D лежит на пересечении окружности с центром М и радиусом
и окружности с диаметром ОС.
Таким образом, искомое построение сводится к построению отрезка СЕ; ГМТ из которых этот отрезок виден под углом α (тем самым построена и точка О); точки М и точки D пересечения двух ранее указанных ГМТ. Вершина А является пересечением луча CD c первым из построенных ГМТ, а вершина В — пересечением лучей АЕ и DM.
Второй способ. Пусть N — середина медианы CE (см. рис. б).
Тогда ∠NDC = ∠BAC = α.
Поэтому, точка D лежит на пересечении двух геометрических мест точек: ГМТ, из которых отрезок CN
виден под углом α и ГМТ, удаленных от точки M на расстояние, равное
. Построив точку D,
мы получим треугольник CED. Так как ED — средняя линия треугольника АВС,
то из треугольника CED несложно восстановить треугольник ABC.
| Рис. а | Рис. б | Рис. в |
Третий способ. Построим сначала некоторый треугольник
A'B'C', подобный искомому. Для этого выберем произвольный отрезок
B'C' и построим геометрическое место точек, из которых он виден под данным углом
α (см. рис. в). Пусть P' — середина B'C'. Так как
, где M' — центр тяжести треугольника
A'B'C', то точка M' должна лежать на дуге,
которая получается из построенной гомотетией с центром P' и коэффициентом
.
С другой стороны, так как
,
то M' лежит на окружности Аполлония точек B' и C'.
Следовательно, M' является пересечением указанной дуги и этой окружности.
Зная положение точки М', восстанавливаем треугольник
A'B'C'.
Искомый треугольник АВС получается из него
преобразованием подобия с коэффициентом,
равным .
