Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?
Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
а) 2012,
б) 2013 плоскостей симметрии?
в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?
Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис – 5 лье.
Какое расстояние будет между ними через час?
Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат – 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня?
Турист шел 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость равна 5 км/час?
Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.
Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.
|
|
 |
Условие
Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.
Решение
Пусть P – произвольная точка окружности, описанной около данной трапеции АВСD, X, Y, Z и U – ортогональные проекции точки P на AC, BC, BD и AD соответственно (см. рис.).
Так как трапеция вписана в окружность, то она – равнобокая. Пусть Q – точка, симметричная P относительно оси симметрии трапеции, тогда ∠QAC = ∠PBD.
Рассмотрим точки X', Y', Z' и U', симметричные P относительно сторон трапециих. Так как четырёхугольник AXPU вписанный,
∠UXP = ∠UAP = ∠PBD = ∠QAC. Поэтому ∠QAX + ∠UXА = ∠QAC + ∠UXА = ∠UXP + ∠UXА = 90°, то есть AQ ⊥ UX. Значит, AQ ⊥ U'X', и, так как
AU' = AP = AX', то AQ – серединный перпендикуляр к отрезку X'U'.
Аналогично доказывается, что серединные перпендикуляры к отрезкам X'Z' и Y'Z' проходят через Q. Следовательно, четырёхугольник с вершинами X', Y', Z' и U' вписан в окружность с центром Q. Так как четырёхугольник с вершинами X, Y, Z и U получается из него гомотетией с центром Р и коэффициентом ½, то он также будет вписанным.
