Обозначим корни уравнения  x² + px + q = 0  через x₁, x₂. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек  M(, q),  которые задаются условиями:
а)  x₁ = 0,  x₂ = 1;     б)  x₁ ≤ 0,  x₂ ≥ 2;     в)  x₁ = x₂;     г)  – 1 ≤ x₁ ≤ 0,  1 ≤ x₂ ≤ 2.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30^o, и катетом CA = 1, проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15^o к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F. Найдите площадь треугольника CDF. Укажите её приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

   Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса CQ. Около треугольника BCQ описана окружность радиуса ¹/₃, центр которой лежит на отрезке AC.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AQ : AB = 2 : 3.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.

   Решение

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R₁ и R₂ цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T₁ и T₂, касающимися R₁ и R₂ в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла 360^o/n (рис.).

   Решение

В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

   Решение

Точки  A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых  A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем  KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и  MN| A₆A₅. Докажите, что  NK| A₅A₂.

   Решение

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.

   Решение

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
  а)  4x³ – 18x² + 24x = 8,     4x³ – 18x² + 24x = 9;
  б)  4x³ – 18x² + 24x = 11,     4x³ – 18x² + 24x = 12?

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы:  ∠DAB = α,  ∠ABC = β,  ∠BKC = γ,  где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы:  ∠DAB = α,  ∠ABC = β,  ∠BKC = γ,  где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

Подсказка

Выразите углы треугольника AKB через α, β, γ и искомый угол.

Решение 1

Пусть  ∠ABD = <∠ACD = φ.  Тогда  ∠CAD = ∠DBC = β – φ,  ∠BAC = ∠BAD – ∠CAD = α – (β – φ),  γ = ∠BKC = ∠BAC + ∠ABD = (α – β + φ) + φ = α – β + 2φ.  Следовательно,  φ = ½ (β + γ – α).

Решение 2

2α = ⌣BCD = ⌣BC + ⌣CD,  2β = ⌣ADC = ⌣AD + ⌣C,  2γ = ⌣AD + ⌣BC.  Отсюда ⌣AD = ½ (2β + 2γ – 2α) = β + γ – α,  а  ∠ACD = ½ ⌣AD.

Ответ

½ (β + γ – α).

Источники и прецеденты использования