Решить в целых числах уравнение  x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

   Решение

Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

   Решение

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a₁ + a₂ = 1,  можно найти такие числа b₁ и b₂, что  b₁ ≥ 0,  b₂ ≥ 0,  b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1.  Доказать.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC проведены биссектрисы AD, BE, CF.
Найдите BC, если известно, что  AB = AC = 1,  а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E и F.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника и теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть  BC = x.  По свойству биссектрисы треугольника  CE : AE = x : 1,  откуда  CE = ^x/_1+x.  Поскольку  CD² = CE·AC,  то  ^x²/₄ = ^x/_1+x.  Из этого уравнения находим, что  x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования