Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

   Решение

Докажите, что уравнение  a₁ sin x + b₁ cos x + a₂ sin 2x + b₂ cos 2x + ... + a_n sin nx + b_n cos nx = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях a₁, b₁, a₂, b₂, ..., a_n, b_n.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что  AB = BC,  AC = 10.  Из середины D стороны AB проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 40. Найдите периметр треугольника AEC.

   Решение

В треугольнике боковая сторона равна 16 и образует с основанием угол в 60^o; другая боковая сторона равна 14. Найдите основание.

   Решение

В равнобедренную трапецию вписана окружность.
Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.

   Решение

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренную трапецию вписана окружность.
Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.

Подсказка

Выразите площадь трапеции через её периметр и радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть P – периметр трапеции, R – радиус круга. Тогда средняя линия трапеции равна ^P/₄, а площадь –  ^P/₄·2R = ^PR/₂.  Площадь круга равна πR². Следовательно, искомое отношение площадей равно  P : 2πR.

Источники и прецеденты использования