|
|
 |
Условие
Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.
Решение
Пусть O1 и O2 – центры окружностей (см. рис), R и r – их радиусы (R > r), AC – основание данного треугольника ABC, расположенное на общей касательной MN (M и N – точки касания), PQ – вторая общая касательная (P и Q – точки касания), K – точка касания первой окружности со стороной AB, L – второй окружности со стороной BC.
Обозначим AB = BC = a, AC = 2b, AM = AK = x, CN = CL = y, BH = h – высота треугольника ABC. Тогда 2a – x – y = PQ = MN = x + y + 2b, то есть x + y = a – b.
Заметим, что ∠MO1K = ∠BAC. Проведём биссектрису AL треугольника ABH. Из подобия треугольников AMO1 и LHA получаем bh/a+b : b = x : R, то есть
hR = x(a + b). Аналогично hr = y(a + b). Следовательно, (R + r)h = (x + y)(a + b) = (a – b)(a + b) = a² – b² = h², откуда R + r = h.
