Докажите, что  x² + y² + 1 ≥ xy + x + y  при любых x и y.

   Решение

Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

   Решение

Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 21, а катет BC равен 28. Окружность, центр O которой лежит на гипотенузе AC, касается обоих катетов.
Найдите радиус окружности.

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 21, а катет BC равен 28. Окружность, центр O которой лежит на гипотенузе AC, касается обоих катетов.
Найдите радиус окружности.

Подсказка

Пусть P – точка касания окружности с катетом BC. Рассмотрите подобные треугольники CPO и CBA.

Решение

  Обозначим через R радиус окружности.

  Первый способ. Пусть P – точка касания окружности с катетом BC. Из подобия треугольников CPO и CBA следует, что  ^28–R/_R = ²⁸/₂₁.
 Отсюда   R = 12.

Второй способ.  S_AOB = ½ AB·R = ^21R/2,  S_COB = ½ BC·R = 14R.
  Поскольку  S_AOB + S_COB = S_ABC = ½ AB·BC = ½·21·28,  имеем уравнение  21R + 28R = 21·28,  откуда  R = 12.

Ответ

12.

Источники и прецеденты использования