Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите:

1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;

2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.

   Решение

Меньшая сторона прямоугольника равна 1, острый угол между диагоналями равен 60^o. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника.

   Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC , AOC = 60^o . Найдите угол AMC , где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

   Решение

В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 12 и 4, а остальные рёбра равны 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра, равного 12.

   Решение

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания на отрезки, равные 5 и 12. Найдите площадь треугольника.

   Решение

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.

   Решение

Темы:    [ Трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.

Решение

  Пусть BС – меньшее основание,  BA = x  – меньшая боковая сторона трапеции ABCD. Тогда точка M касания данной окружности с нижним основанием AD лежит на серединном перпендикуляре к основанию BC. Поэтому  AM = ^BC/₂ = ^x/₂,  CD = MD = a – ^x/₂.
  Пусть K – проекция вершины C на AD. Тогда  KD = a – x,  CK = x.  По теореме Пифагора  (a – ^x/₂)² = x² + (a – x)²,  откуда  x = ^4a/₇,  CD = a – ^x/₂ = ^5a/₇.

Ответ

^4a/₇, ^5a/₇.

Источники и прецеденты использования