Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

   Решение

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

   Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.

   Решение

a и b – натуральные числа. Известно, что  a² + b²  делится на ab. Докажите, что  a = b.

   Решение

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.

   Решение

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. A – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке A. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

   Решение

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₇. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

   Решение

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₇. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

Подсказка

∠BDC = ^π/₂ + ½ ∠A.

Решение

Пусть  ∠A = α  – средний по величине угол треугольника ABC,  ∠C = α – ^π/₇,  ∠B = α + ^π/₇.  ∠B₁DC₁ = ^π/₂ + ^α/₂  (см. задачу 55448),
∠DB₁C₁ = ∠DC₁B₁ = ½ (π – ^π/₂ – ^α/₂) = ^π/₄ – ^α/₄.  Аналогично  ∠DA₁C₁ = ∠DC₁A₁ = ^π/₄ – ^α/₄ – ^π/₂₈,  ∠DA₁B₁ = ∠DB₁A₁ = ^π/₄ – ^α/₄ + ^π/₂₈.  Значит,
∠A₁ = ∠DA₁C₁ + ∠DA₁B₁ = ^π/₂ – ^α/₂,  ∠B₁ = ^π/₂ – ^α/₂ + ^π/₂₈,  ∠C₁ = ^π/₂ – ^α/₂ – ^π/₂₈.

Ответ

^π/₂₈.

Источники и прецеденты использования